Leetcode 486 Predict the Winner

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给定一个表示分数的非负整数数组。 玩家1从数组任意一端拿取一个分数，随后玩家2继续从剩余数组任意一端拿取分数，然后玩家1拿，……。每次一个玩家只能拿取一个分数，分数被拿取之后不再可取。直到没有剩余分数可取时游戏结束。最终获得分数总和最多的玩家获胜。
给定一个表示分数的数组，预测玩家1是否会成为赢家。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

示例 1:
输入: [1, 5, 2]
输出: False
解释: 一开始，玩家1可以从1和2中进行选择。
如果他选择2（或者1），那么玩家2可以从1（或者2）和5中进行选择。如果玩家2选择了5，那么玩家1则只剩下1（或者2）可选。
所以，玩家1的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家2为 5。
因此，玩家1永远不会成为赢家，返回 False。

示例 2:
输入: [1, 5, 233, 7]
输出: True
解释: 玩家1一开始选择1。然后玩家2必须从5和7中进行选择。无论玩家2选择了哪个，玩家1都可以选择233。
最终，玩家1（234分）比玩家2（12分）获得更多的分数，所以返回 True，表示玩家1可以成为赢家。

注意:

  1. 1 <= 给定的数组长度 <= 20.
  2. 数组里所有分数都为非负数且不会大于10000000。
  3. 如果最终两个玩家的分数相等，那么玩家1仍为赢家。

分析：

  1. 显然，第一个人要么拿第1个要么拿最后1个，具体拿哪个取决于哪种拿法能拿的分数更大。
  2. 此时，我们不妨定义score(nums)代表在剩余数组为nums时，先拿的人能获得的最大分数。
  3. 故第一个人能拿到的最大分数就为score(nums)，第二个人能拿到的分数自然是sum(nums)-score(nums)。因总和不变，所以第二个人的策略是使第一个人能得到的分数尽量小！

思路：

  1. 对于score(nums)，如果len(nums) <= 2，则score(nums) = max(nums)
  2. 如果len(nums)>3，先拿的人可以拿nums[0]，也可以拿nums[-1]，不妨设拿的nums[0]，则此时该第二个人在nums[1:]数组先拿
  3. 第二个人可能拿nums[1]或者nums[-1]，拿哪个取决于让第一个人在剩余数组能获得的最大分数最小，即min(score(nums[2:]),score(nums[1:-1]))
  4. 依次类推，注意中间有大量重复计算，即使nums.len <= 20，我们最好还是用记忆化的形式来计算，又因为list是不可哈希对象，所以先转换成tuple记录

补充：
这种记忆化的递归就是dp，转换成dp更容易想清楚，这里我就不写dp方法了。
时间复杂度的分析很简单，观察字典d即可，我们是每递归一次就有一个新的d[nums[i:j]]，i处于(0,n-1),j处于(i+1,n-1)，故为n^2

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class Solution(object):
    def PredictTheWinner(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: bool
        """
        d = {}
        
        def score(nums):
            if tuple(nums) in d: return d[tuple(nums)]
            if len(nums) == 1: return nums[0]
            if len(nums) == 2: return max(nums)
            res = max(nums[0] + min(score(nums[2:]),score(nums[1:-1])), nums[-1] + min(score(nums[1:-1]), score(nums[:-2])))
            d[tuple(nums)] = res
            return res

        s1 = score(nums)
        s2 = sum(nums) - s1
        return s1 >= s2

O(n^2) time, O(n^2) space
61 / 61 test cases passed.
Difficulty: medium
Runtime: 40 ms, beats 73.5%